上一篇主要描述了PLONK协议里的一个核心部分，用置换校验的方法去证明电路门之间的一致性；接下来，将继续分享如何证明门的约束关系得成立，以及整体的协议剖析。
门约束
举个简单的例子，假如存在一个电路，电路中仅有3个乘法门，对应的约束如下：
L1*R1-O1=0
L2*R2-O2=0
L3*R3-O3=0
进行多项式压缩：定义多项式函数L(X),R(X),O(X)满足：
L(1)=L1,R(1)=R1,O(1)=O1
L(2)=L2,R(2)=R2,O(2)=O2
L(3)=L3,R(3)=R3,O(3)=O3
此时，定义新的多项式函数F(X)，令F(X)=L(X)*R(X)-O(X)
则有：
F(1)=L(1)*R(1)-O(1)=0
F(2)=L(2)*R(2)-O(2)=0
F(3)=L(3)*R(3)-O(3)=0
也就是表明：如果多项式函数F(X)在X=1,2,3处有零点，则说明门关系约束成立。
多项式函数F(X)在X=1,2,3处有零点则表明多项式F(X)可以被(X-1)(X-2)(X-3)整除，为了和论文一致，我们把这个多项式函数设置成Z(X)，即：
F(X)=T(X)*Z(X)==>T(X)=F(X)/Z(X)
Solana官网更新开发者资源页面，为新开发人员聚合学习资源和内容:1月3日消息，Solana开发者生态系统负责人Chase Barker发推称，上个月更新了Solana Dev页面，重点是为进入该领域的新开发人员获得高质量的学习内容，未来的迭代可能会包括更多面向更有经验的开发人员的开源存储库、工具和高级内容。[2023/1/3 22:22:13]
如果能证明T(X)是一个多项式，则说明多项式F(X)与Z(X)有相同的零点，进而说明门约束关系成立。
一般过程应该如下：
1.P计算F(X)并把F(X)发送给V；
2.V根据Z(X)直接校验F(X)/Z(X)
但是如此过程存在两个问题，一个是复杂性问题，假如F(X)的阶为n，那通信复杂度就是O(n)；而是安全性问题，多项式F(X)完全暴露给V。
那应该如何解决这两个问题呢？最佳的答案可能就是：多项式承诺
多项式承诺
什么是多项式承诺？就是证明方P用一个很短的数据来代表一个多项式F，这些很短的数据可以被验证方V用来验证多项式F在某一点的值确实为证明方P声称的值z。
具体看一下论文里的定义：
Web3开发平台Alchemy推出Web3学习平台Alchemy University:10月6日消息，Web3 开发平台 Alchemy 与旗下 ChainShot 合作推出 Web3 学习平台 Alchemy University，训练营内容包括密码学、Solidity 开发、智能合约安全、代理合约、委托调用等，既是一门 Web3 开发课程，也可作为一个用于构建技能和网络的完整生态系统，学生可在学习的同时进行实践操作[2022/10/6 18:40:43]
由图可知：
1.Setup:初始化，生成计算多项式承诺需要的一些必备参数；
2.Commit:计算多项式承诺，其结果是一个值；
3.Open:返回与多项式承诺对应的多项式函数；
4.VerifyPoly:验证多项式承诺是否和多项式函数一致；
5.CreateWitness:证明多项式函数在某一点的值是否是证明方P声称的值，具体的数学方法就是：判断多项式是否能被整除，即：
6.VerifyEval:验证方V验证多项式函数在某一点的值是否是证明方P声称的值，具体的数学方法是：利用双线性配对验证其数学乘法逻辑关系。
继续回到我们上面的问题：
证明方如何证明：T(X)=F(X)/Z(X)，我们再简化一下场景，就令Z(X)=X-1，则:
T(X)=F(X)/(X-1)==>T(X)*(X-1)=F(X)==>T(X)*X=F(X)+T(X)
动态 | 鄂州市委开展集体学习，强调要努力使区块链发挥更大作用:金色财经报道，11月8日，鄂州市委理论学习中心组开展集体学习，深入学习领会第十八次集体学习时的重要讲话精神。会议指出，重要讲话从战略和全局的高度对发展区块链的重要意义和发展方向作了深刻阐释，并对区块链技术和产业发展作了重要部署，具有很强的战略性、前瞻性和指导性。要认清区块链技术发展现状和趋势，提高运用和管理区块链技术的能力，努力使区块链技术在发展数字经济、助力经济社会发展等方面发挥更大作用。[2019/11/12]
对应多项式承诺的协议可知：证明方P其实是想证明多项式函数F(X)再X=1处的值为0，因此根据协验证方只需要证明：
e(Commit(T(x)),x*G)=？e(Commit(F(x))+Commit(T(x)),G)(双线性配对的性质)
可以看出，利用多项式承诺的数学工具，既可以实现复杂度的优化，又可以实现隐私保护。
协议
接下来分析一下完整的PLONK协议：
Relation
上图表示了PLONK算法里，要证明的一种关系，需要说明的是：
动态 | 英国金融时报：各国央行应学习中国纳入数字支付 而非发行数字货币:金融时报周二刊文称，中央银行不应发行数字货币，因为其没有能力与个人客户打交道，并且还涉及合规性检查等问题。中央银行不应急于与Facebook、Tether和微信这样的公司竞争或是直接禁止它们，而是最好向中国人民银行那样将数字支付纳入中央银行业务并将重点放在他们最擅长的方面：管理稳定性。这之后，如果稳定币变得受欢迎，以至于其储备开始成为贷款的限制，中央银行就可以开始对这些储备收取负利率，同时可以决定向客户收取多少费用。[2019/9/18]
1.w代表着电路里的输入、输出，总共3n个，n是电路里乘法门的数量，每个门都有左输入，右输入和输出，因此w总共有3n个；
2.q*代表着选择向量，它的取值对应这这个是乘法门，还是加法门等类似的约束类型
3.σ代表着置换多项式，其表示门之间的一致性约束索引
4.倒数第一个公式代表门之间的约束成立
5.倒数第二个公式代表门的约束关系成立
CRS&P_Input&V_Input
上图表示了PLONK算法里的CRS设置，以及证明方P和验证方V的一些输入，需要说明的是：
声音 | Circle CEO评论Facebook收到议员联名信：Maxine Waters需要倾听并学习:Circle首席执行官Jeremy Allaire就“美国众议院民主党议员联合致信Facebook，呼吁其暂停Libra开发”一事评论表示：我想告诉Maxine Waters（众议院金融服务委员会主席），你需要倾听并学习，因为（加密）技术正在以惊人的速度发展。这不仅仅是一个处于早期阶段的实验项目，也不仅仅是Facebook上的一个空白页面。在全球范围内，成千上万的工程师在不断地建造东西——这是无法停止的，它在增长，且还在继续增长。我想说的是，现在是决策者去学习的时候了，因为这是全球经济的一个重大突破。 此前报道，包括Maxine Waters在内的美国众议院民主党议员周二向Facebook发布公开信，呼吁其暂停所有的Libra开发。[2019/7/5]
1.整个协议都是基于多项式的，因此需要构建对应的多项式形式。
2.多项式σ的阶是3n的，由于和多项式承诺相关的CRS最高的阶位n+2，因此需要把σ拆分成3个多项式S,分别记录每个多项式的置换关系(L,R,O);
3.为了减少通信复杂度和保护隐私，协议基于多项式承诺构建，因此验证方V的输入都是承诺值。
Prove
上图表示了PLONK算法里证明方的一些操作，需要说明的是：
1.b1,...b9是随机数，从用法看是为了安全，但是我暂时也没明白，不加这个随机数，又会有什么安全问题？
2.a(X),b(X),c(X)分别是代表了电路里的左输入，右输入和输出
3.,,表示多项式的承诺值，参考多项式承诺小节里的承诺计算方法
上图表示了PLONK算法里证明方的一些操作，主要是置换校验，参考第一篇的置换校验的协议过程，生成多项式z(X)，需要说明的是：
1.β和?都是用来生成置换校验函数的参数，详见第一篇里f`(x)和g`(x)的生成过程；
2.z(X)的生成方式对应置换校验里跨多项式的生成过程，Li(X)为拉格朗日多项式基，性质满足，尽在x=i的时候为1，其他为0；
3.注意区分ω和w，ω是群H的生成元，是多项式的自变量的取值。w是电路的左输入，右输入和输出，是多项式L,R,O在在群H上的取值。
上图表示了PLONK算法里证明方P的一些操作，主要是把门约束和门之间的一致性约束组合到一起，通过α，需要说明的是：
1.根据前面的描述，门约束多项式和一致性约束多项式在群H上的所有元素都是取值为0的，因此都会被多项式ZH(X)整除，等同于上面所述的T(X);
2.因此，证明方只要能证明整除的结果的确是多项式，那就能证明，门约束多项式和一致性多项式在群H所有元素上取值为0，即所有约束关系成立，即电路逻辑成立；
3.可以知道的是t(X)的阶最高为3n，但是用于计算承诺的CRS只到了n的级别，因此需要把多项式t(X)拆分，然后单独计算承诺值。
上图表示了PLONK算法了证明方P的一些操作，主要根据多项式承诺的协议，前面P算出了多个多项式在点x=z处的值是多少，现在要用多项式承诺协议去证明，这些计算是正确的，需要说明的是：
1.为了减少验证方V的操作复杂度，t(X)的分子部分r(X)在x=z处的值，P计算好，然后验证方直接验证，其他的操作类似；
2.v的值看起来是为了更安全；
3.Wz(X)对应多项式协议里的CreateWitness操作，证明这些多项式r(X),a(X),b(X)等在x=z处的值确实等于r,a,b等，对Wzw(X)同理，并返回承诺值。
Verify
至此，证明方P的所有操作都完事了，接下来都是验证方V的操作。
上图表示了PLONK算法里验证方V的一些操作，主要重新生成相关的参数，确保证明方P没有作恶。需要说明的是：
1.从输入看，比较清晰，就是一些公开的输入和证明方P的证明输出；
2.根据输入，生成置换校验过程中需要的一些参数
上图表示了PLONK算法里验证方V的一些操作，对于一些公开的，并且计算复杂度很小的多项式，其在x=z处的值还是需要自己计算，更为方便。需要说明的是：
1.根据证明方P的过程来看，验证方V的核心工作就是验证两个多项式承诺；
2.两个多项式承诺验证需要两个配对，可以通过一个参数组合成一个配对，即μ；
3.在验证前，先计算Wz(x),Wzw(x)的分母在x=z处的值，两部分，减数和被减数，分别对应,。μ作为系数的，就是对应Wzw(X)多项式的。
4.最后通过一个双线性配对操作完成两个多项式承诺的验证。
结束
至此，PLONK算法的协议原理已全部分享完成，公式很密集，但是细分下来，又很有层次感。能坚持看完，已实属不易。各位读者有什么不同的简介，还请指教，谢谢。
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