作者：DeFi研究员VincentLu
Pechtl的模型
1995年，Pechtl提出离散时间转换认购期权，如果在Δt内，资产价格超过了行权价X，则投资者可以在期权到期的时候获得这段时间的收益为AΔt，同理，在离散时间认沽期权中，在某个Δt内，资产价格低于了行权价X，则投资者可以在期权到期的时候获得这段时间的收益为也为AΔt。
Pechtl根据理论和BS模型，他计算出这种认购期权的定价可以用如下算式来表达：
中币（ZB）市场研究报告：若多头突破阻力位则将进一步扩大涨势:据中币（ZB）市场研究报告显示，目前RSI曲线显示上升趋势，这可能是继比特币价格继续上行的早期信号，而比特币在中长期上升趋势通道中呈现强劲发展态势。未来一天，如果比特币多头突破了2月21日创造的57998美元的阻力位，则将进一步扩大涨势达6.5万美元的新高；相反，若多头未能突破预期水平，则可能回落至53327美元的主要支撑位。此外该报告还对YFI和UNI做出了技术分析，更多详情请查阅中币（ZB）官方发布的研究报告。[2021/3/11 18:35:47]
认沽期权的定价可以用如下算式来表达：
动态 | 中证协公布优秀重点课题研究报告评选结果 两篇与区块链相关:中证协2019年组织开展了主题为“深化金融供给侧结构性改革，推动证券业实现高质量发展”的重点课题研究工作。本年度中证协重点课题研究共收到158项课题申报，立项88个课题，最终由专家评选出21篇优秀课题报告。优秀课题报告包括探索金融科技、监管科技在证券行业应用，深刻理解金融科技对金融生态的深远影响，推动金融科技在证券行业的融合应用发展研究，包括《区块链在场外衍生品市场组织中的应用研究》《区块链在数据生态建设的应用及价值研究》《场外交易中的零知识认证研究》《基于机器学习模型的财务报告欺诈风险识别方法研究》《证券业数字财富管理发展模式研究》《智能投顾在证券公司财富管理业务中的应用研究》《证券公司数字化财富管理的发展模式与路径研究》等。（中国证券业协会）[2019/12/20]
其中S为现价，X为行权价，波动率为σ
动态 | 研究报告：2017-2022年全球区块链技术市场的年复合增长率将达43%:据Theinnovationenterprise消息，据区块链研究机构SB Wire近日发布的一份报告显示，2017-2022年期间，区块链技术市场的年复合增长率将达43%。2020年全球区块链技术产生的收入将达140亿美元。[2018/10/11]
在这两个算式中，n=T/Δt，如果期权合约已经生效了一段时间，则需要在期权定价公式中增加一项：ΔtA·exp(-rT)·m，其中m是已经满足时间转换条件的时间单位数量
基于Pechtl模型的改动
我们对Pechtl的理论做一点小改动，如果某投资者能在认购期权价格超过行权价格的时候就获得收益，并且收益的计算方式为*Δt，例如，Alice从Bob那里买了一个行权价格为110美元的认购期权，到期时间是1年。在这年里，价格在11月份突破了行权价，到达了120～130美元，而到了十二月份，价格下跌，跌破了90美元，虽然到期时间来临时，期权价格仍然低于110美元，但是Alice仍然可以在11月获得期权高于行权价的那部分收入。
动态 | 中国信通院发布《金融区块链研究报告》 总结区块链金融八大核心结论:中国信通院今日发布《金融区块链研究报告》，报告总结了现阶段区块链金融的八大核心结论：1.区块链将对法定数字货币的发行和流通机制的建立产生深远影响；2.区块链在跨境支付及大额支付领域有一定优势；3.区块链将对金融体系发挥积极作用；4.供应链金融是较为适合区块链的场景之一；5.区块链在证券交易应用领域更多尚在概念阶段；6.区块链在保险领域的应用更加强调公开透明特点；7.区块链技术有助于搭建征信数据共享交易平台；8.区块链金融应用面临挑战与监管。[2018/7/24]
考虑到在Pechtl模型中，收益为到期日后才获得，所以在估算价格中，会有折现因子exp(-rT)，其中r为无风险利率。那如果当时就行权，在第i个周期内，获得概率的可能性应为：
我们的认购期权模型中，另一个改动是超过行权价，投资者获得的收益为??Δt，而不是像Pechtl模型中的固定常数A，在这种情况下，我们必须修订Pechtl的公式，应该用每个??并累加。在数学上就是积分的形式：
模型中的另外一个改动就是：购买认购期权的投资者是立即获得收益，而不是等到到期日之后才会获得，因此需要把每天的收益折现到当前。考虑到无风险利率是r，那么每天的收益即为r/365，第i天的现值应该为：
把所有的Ci累加，就得到了这种期权的定价方式：
Python模拟
我们用Python模拟了这种认购期权的定价方式：假设现价为100美元，无风险利率为6%，波动率为26%，我们研究这种认购期权价格C和到期天数n之间的关系。
这种情况很符合日常感觉，如果到期天数长，风险增加，价格超过行权价的可能性也增加了。因此认购期权就贵了，但是增长幅度变慢了，如果到期天数无限大，价格应该会收敛到一个定值。
永续时间转换期权的定价方式
在上式中令n趋近于无穷大，我们可以得到这种期权的定价模型为：
原文链接：https://medium.com/@Vincent.R.Jaipul/perpetual-timer-option-pricing-8bd9f4139e79
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