在量化交易中，我们不可避免地假设过去的事情会为我们提供信息，以便我们在将来做出更好的决策。策略回测可以帮助我们确定策略收益的概率分布。
如果有人告诉你，相比于您被自己心爱的小狗偶尔不小心咬伤致死，其实您被雷击致死的概率更小，您会相信吗？如国家安全委员会所显示，人一生中死于狗咬的机率是1：112,400，而死于雷击的机率是1：161,856。尽管雷击看起来可能更致命，但实际情况却更为复杂。让我们看看其中原因。
1656年，法国数学家布莱斯·帕斯卡尔在一封名为“Gambler’sRuin”的信中首次讨论到的一个基本的统计概念告诉我们，不断暴露于危险事件的可能性可能会改变我们对单个事件的认知。我们一生中更容易接触狗，这一事实使狗咬最终比雷击更为致命。
Gambler’sRuin在单个事件的概率与最终事件的概率之间提供了统计联系。这个概念是交易的基础之一。在这种概率游戏中，无论我们是否意识到，我们的策略是获胜还是失败总是存在一种概率。因此，我们使用的策略是有可能导致破产的。但是破产会如何发生？或者说何时才会发生？更重要的是，在知道这些问题的答案后我们又能做些什么？
Cathie Wood：比特币现货ETF申请方面贝莱德不比ARK Invest更具优势:金色财经报道，ARK Invest首席执行官Cathie Wood表示，在申请比特币现货ETF方面，贝莱德不比ARK Invest更具优势。Cathie Wood认为，SEC大约会在明年1月中旬前给出ARK Invest现货ETF申请的结果，贝莱德则是在明年3月前。[2023/7/7 22:23:58]
由贝尔实验室的科学家JohnLKellyJr.于1961年发明的著名凯利公式可以帮助我们找到这些问题的答案。
一个简单的抛硬币游戏
让我们设想一个简单的抛硬币游戏。如果掷出正面，则投注者将获得全部投注，否则，如果掷出反面，则投注者失去全部注。设结果H的概率为p，T的概率为q=1-p。现在假设我们有一个p>0.5的不公平硬币，这意味着抛掷出H的可能性比T高。每次抛掷的奖励?是一个随机变量，
Voltage与Google Cloud合作扩展比特币和闪电网络基础设施:金色财经报道，闪电即服务 (LaaS) 提供商 Voltage 正在与 Google Cloud 合作以扩展托管服务提供商和地点。通过此次合作，客户可以在全球各地的谷歌云中创建比特币和闪电节点。通过使用 Voltage 和 Google Cloud，客户可以通过两家领先的提供商在全球范围内部署他们的工作负载。[2023/6/2 11:53:58]
其中?+和?–分别代表获胜和亏损的下注倍数。让我们先假设每掷一次都是赢了或是输了全部注，即?+=1和?–=-1。
抛硬币的回报R的期望值为
那玩家应该每次下注多少呢？假设C0是玩家的初始资产，并且他/她每次都下注资产的某部分f。经过N次下注后，最终净值CN为
最佳注大小的推导–凯利注
让我们研究上述简单抛硬币游戏的最佳下注大小。第一个问题是，我们想要实现什么样的最优化？在本文中，我们希望最大化预期的长期增长率，即每次独立抛掷的平均对数回报。我们希望以使E为最大化的方式选择f。因为
以太坊Layer 2上总锁仓量为87.2亿美元:金色财经报道，L2BEAT数据显示，截至目前，以太坊Layer2上总锁仓量为87.2亿美元，近7日涨24.17%。其中锁仓量最高的为扩容方案ArbitrumOne，约57.8亿美元，占比49.14%，其次是Optimism，锁仓量19.4亿美元，占比9.37%。[2023/3/25 13:26:03]
将上述表达式的一阶导数设置为0并对其进行求解，得出f=2p?1。这是实现最大预期长期增长的注大小。我们将其称为凯利注fKelly=2p?1。
凯利注对于任何?+和?–的一般形式可以同样的推导为
投币游戏的实现与模拟
我们根据上述规则以CoinTossGame进行了仿真实验。
以下是实验模拟的参数：
win_rate:p获胜的概率；profit:?+,当结果对应于赢时的下注乘数；loss:?–,当结果对应于损失时的下注乘数；number_of_tosses:N,游戏运行一次的抛掷次数；number_of_runs:游戏的运行次数；bet_size:f：下注部分starting_capital:C0：初始资产以下每列代表一轮游戏，并显示当前游戏中资产的对数。
华尔街日报：Adam Neumann的加密初创公司推迟发布代币:金色财经报道，WeWork创始人Adam Neumann的加密企业Flowcarbon因市场状况推迟推出其原生代币Goddess Nature Token。Flowcarbon是一家初创公司，它将加密货币与碳信用相结合，以创建可以在所有者想要抵消排放时燃烧的代币。
联合创始人Dana Gibber表示，公司已决定等待市场稳定后再推出产品。该代币原先预计将在6月底推出，但现在已无限期推迟。（theblock）[2022/7/16 2:17:53]
首先，我们用随机抛硬币的方式进行10轮，每轮抛掷30次，其中获胜概率p为70％，profit=1，loss=-1。通过计算凯利注大小为2p?1=2·0.7?1=40％或0.4。
过度下注，下注不足和凯利下注的特征
我们模拟多次重复下注，并看看不同下注大小所得的资产特征。我们将分别模拟过度下注，下注不足和凯利下注的情况。
音乐NFT初创公司ArtistFirst完成550万美元种子轮融资，Multicoin Capital领投:5月25日消息，音乐NFT初创公司ArtistFirst宣布完成了一笔550万美元的种子轮融资，Multicoin Capital领投，Krafton、Pravega Ventures、GAMA、WoodstockFund、IOSG Ventures、Polygon Studios以及Sandeep Nailwal（Polygon的联合创始人）、Gokul Rajaram、Prashant Malik和Miten Sampat等参投。本轮融资资金将用于扩充其技术团队和行业合作伙伴关系，并招募艺术家。
ArtistFirst是NFT音乐平台FanTiger的运营商及开发公司，该平台帮助艺术家创建和销售音乐NFT，这些NFT也能让粉丝有机会与艺术家一起构建音乐社区并获得其他福祉和奖励，比如了解音乐制作幕后内容、明星见面、独家访问未发布音乐等。[2022/5/25 3:40:27]
过度下注
现在，我们将模拟下注码数超出理想下注的情况，以看看此下注模式对最终净值的影响。首先，让我们仿真1000条资产曲线，每一条曲线来自下注大小为80％的两倍）的100次抛掷。
我们可以看到，在游戏运行多次之后，过高的注更有可能导致破产。原因是连续亏损的可能性总是存在的，在这种情况下，过度下注只会使资产净值几何级下降。
下注不足
接下来，我们以下注大小为20％模拟100次抛掷的1000条资产曲线，这是我们40％凯利下注的一半。在这种情况下，我们下注不足。
正如我们所观察到的，在下注时，相对较多次的模拟会下得到不错的最终资产。但是，由于我们下注不足，这意味着我们正在过分安全地进行游戏，也同时意味着我们的资金增长率会受到限制。
凯利投注
最后，我们仿真1000条资产曲线，每一条曲线来自凯利下注的100次抛掷。
可以看到，通过凯利下注，我们可以实现最佳结果。
过度下注、下注不足和凯利下注的最终资产分布
下图显示了最终资产的分布，分别为过度下注，下注不足和凯利下注。
上图显示，即使我们单次获胜率较高，在过度下注的情况下，由于可能发生的连续损失会几何性的减少我们的资产，这很可能导致我们在多次下注之后破产。
投注不足时，我们破产的机会较小，但我们无法优化资产增长。
通过凯利投注，我们拥有最高的预期长期增长率，但与投注不足的情况相比，最终资产更分散地聚集在正区域附近。
非对称关系–应用凯利以更好地调整注大小
让我们针对不同的下注大小重复上述模拟过程，以便我们可以观察到预期长期增长率与下注大小的详细变化。这次，我们将模拟1000次投掷1000次，起始资本=100。
让我们绘制预期的长期增长率与下注大小的关系。
我们可以清楚地看到注大小和增长率之间的不对称关系。根据定义，预期的长期增长率将通过凯利投注最大化。只要下注的大小超过凯利，长期预期增长率就会下降得更快，而下注不足则不会导致太严重的结果。不论单次获胜概率如何，这种不对称关系都是存在的。
凯利注大小fKelly是产生最大预期长期增长率的最佳注大小。现在我们了解到，如果投注者以大于凯利作下注，那么他或她很可能会被淘汰。我们还可以看到，过分安全行事并不是一个坏主意，因为它仍然会带来相对积极的结果。
这引起了我们的注意，即使我们以70％的胜率下注，如果我们过度下注，我们最终可能会在连续亏损的情况下破产。这个原理甚至适用于难以预测的游戏。
在交易中的潜在应用
在量化交易中，我们不可避免地假设过去的事情会为我们提供信息，以便我们在将来做出更好的决策。策略回测可以帮助我们确定策略收益的概率分布。
然而，我们必须确保上述的分布足够稳定以获得可靠的凯利公式计算。一种方法是使用移动窗口方法动态地估计概率分布。使用高斯方法可以很容易地估计抛硬币的结果，但是金融市场的预测更具挑战性。
我们必须记住金融市场要比简单的抛硬币游戏要复杂得多。在金融市场中，价格不会随机波动。价格回报分布通常是高度偏斜，并且这些分布的参数对于模型构建而言不够稳定。
结论
为了在不确定的情况下取得最佳表现，我们必须对概率有所了解，因为这有助于我们通过理解和运用凯利公式来估算最实际的策略。
即使您对自己在游戏中的优势充满信心，在这个概率的世界中您需要做好破产的准备，特别是当您面临更大风险的时候。
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