从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。
最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。
关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看，本文不再做详述。
数据：衍生品协议GMX在Arbitrum链上总费用超1亿美元:1月5日消息，据官方统计数据，衍生品协议GMX自2021年9月1日上线Arbitrum以来，其在Arbitrum链上总费用已超1亿美元，总交易额达749.9亿美元。[2023/1/5 10:23:00]
假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 xin=Nxrate，售出的 Y 总量为 yin=Nyrate。
同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 xreserve 和 yreserve 分别表示为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。
按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值，整个过程总共交易 N 次。
比特币哈希率未因矿工利润下滑受影响:金色财经消息，尽管比特币的法定价值已比2021年11月的历史高点下降了70%以上，但价格下跌使得矿工根据他们运营的设备赚取的利润减少了。尽管矿工利润下滑，但比特币的哈希率一直保持在每秒180exahash(EH/s)至261EH/s的高位徘徊。在三天或600多个区块之后，比特币的下一次难度调整估计也将增加0.3%。[2022/7/3 1:47:18]
值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。
首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分别为 xn-1 和 yn-1。
风险投资公司Standard Crypto筹集5亿美元新基金:金色财经报道，根据Axios的一份报告，风险投资公司StandardCrypto筹集了5亿美元的新基金。据悉，该基金将投资于股票和加密货币。在今年早些时候接受采访时，联合创始人AlokVasudev讨论了NFT和DAO等风险投资公司感兴趣的领域，例如StandardCrypto。[2022/5/25 3:39:18]
接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 xrate 和 yrate，命：
因为 xrate 和 yrate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，
憨豆先生宣布与FOMO Lab合作购买Mr Bean NFT:5月11日消息，憨豆先生（Mr Bean）发推宣布加入元宇宙。此外，憨豆先生将与FOMO Lab合作从5月25日开始在以太坊区块链上购买3333个Mr Bean NFT。[2022/5/11 3:07:27]
化简，
在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，
Moonbeam发起开通和Acala之间的HRMP通道提案:金色财经报道，Moonbeam 在 Acala 论坛上发起技术提案，与其他网络间开通 HRMP 通道的提案类似，建议将在 Moonbeam 与 Acala 开通 HRMP 通道，初步将即集中在在两条链之间实现 GLMR 和 ACA/aUSD 流通，后期将进一步扩展更多应用案例，该提案时间暂定。提案外在因素需要通过民主提案从平行链的主权账户中调用作为来源，该提案将使用 Polkadot X CM向中继链发送 XCM。作为先决条件，波卡平行链的主权账户必须包含至少 20 个 DOT 作为抵押品（每个通道方向 10 个），以及一些用于支付 XCM 执行费用的 DOT。[2022/5/6 2:53:24]
通过观察，我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。
令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，这是一个常数。
先对 xn 求得一般公式，并获得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。
yn 的分式线性递归表达式如下：
首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，则
计算得到，
而，
xin 等于 0，yin 不等于 0 时，讨论同上。
若 xin 和 yin 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。
进一步计算，
TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 xN 的极限值。
其中，
相似的，
最后，经过简单的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。
至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。
撰文：luffy
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