随着比特币、区块链、智能合约等概念的铺开，越来越多的人关注到Web3领域的蓬勃发展。而在技术方面，也有许多开发者关注到支撑区块链底层的密码学协议。在这之中，零知识证明协议以其独特的特性大放异彩，无论是在实现隐私保护，还是在实现Layer2性能扩容的zkrollup项目当中，都发挥着关键的作用。零知识证明是一类算法的统称，到目前为止，研究者发明了包括Plonk、Groth16、zkStark、Virgo、Orion、Foaks等等在内的许多种协议。不同的协议适用于不同的计算场景，复杂度和效率也各有不同，例如Foaks就以线性的证明时间和较小的证明长度为优势。上述的每一种协议，协议目标是相同的，就是证明者希望在不向验证者透露任何关于自己的秘密的信息的情况下让验证者相信自己拥有秘密。sum-checkprotocol是很多协议的组件，最早在当中被提出。很多计算问题可以被转化成sum-checkprotocol能处理的问题，从而生成证明。包括Foaks在内的不少协议的底层协议都基于sum-checkprotocol，在其上进行调整来实现。在FoxTech所采用的Foaks证明系统当中，该协议同样发挥着重要的作用。具体来讲，为了实现对于某一操作码opcode正确性的证明，需要先将其转化为算术电路，之后转换为矩阵，最终生成多项式，对多项式应用证明系统当中的算法，在最后压缩证明的部分当中，同样将证明者和验证者之间的交互过程转换为计算某个和式，也就是sum-checkprotocol的过程。
Ripple CTO：“Ripple计划回购100亿XRP”为谣言:金色财经报道，Ripple首席技术官(CTO)、XRP Ledger的原始架构师之一David Schwartz回应了最近有关Ripple据称计划回购100亿XRP代币的传言，这相当于该代币总供应量的10%按目前价格计算，价值50亿美元。Schwartz澄清了这一情况，并表示虽然Ripple确实参与了XRP购买，但他目前不知道有任何具体的回购计划。此外，他强调，没有官方消息来源支持这些谣言。
此前报道，对Ripple友好的律师对Ripple Labs可能回购100亿XRP传言持怀疑态度。[2023/6/26 21:59:43]
图1:Sum-checkProtocol所在环节Sum-checkProtocol
1.协议目标
协议的目标非常简单且容易理解。假设我们有一个定义在有限域F上的v元多项式，记作g。协议的目标是计算和式：
Telos宣布与GameStop合作以扩展Web3游戏:金色财经报道，Telos基金会宣布与GameStop Corp.达成战略合作，这将使Telos区块链通过GameStop即将推出的Web3游戏启动器GameStop Playr进入主流游戏发行。[2023/6/1 11:53:02]
和在zkRollup当中考虑的“外包计算”的场景类似，在应用当中，上述式子的计算量会非常大，我们希望将这个式子的计算交给证明者，之后证明者向验证者证明自己的计算结果是正确的。2.协议假设
首先，需要明确在这个协议当中验证者的能力。我们假设验证者拥有可以计算函数g的预言。也就是说，对于验证者而言，确定某个输入r1,...,rv之后，计算g(r1,...,rv)是容易的。但是计算完整的结果H是困难的。事实上，在现实应用当中，预言不会存在，但是可以通过某种手段实现，例如我们可以让证明者帮助验证者计算这个值，并用更多的技巧附加正确性的证明。第二点，关于协议的目标，事实上sum-check协议可以对于任意的集合B计算bBmg(b)，但是不失一般性的，我们假设B={0,1}。3.协议过程
Sologenic联创：比特币今年年底可能会涨至4万美元:5月6日消息，区块链公司Sologenic联合创始人Bob Ras在接受采访时表示，随着大银行纷纷倒闭，这些投资者将比特币视为一种对冲工具，因为它具有去中心化的抗审查能力，而且没有交易对手风险，这一点似乎越来越清晰。
越来越多的人预期，美联储将放松货币政策，向市场有效注入更多流动性，以支撑金融体系。比特币在这种情况下走在了前面，预示着未来实际上会回到相对较低的利率水平。
他还预测，比特币今年年底可能会涨至4万美元。有证据表明，越来越多的人和机构在低点积累比特币，这实际上转化为供应冲击。由于卖家所剩无几，任何需求的上升都会对价格产生巨大影响。（Business Insider）[2023/5/6 14:47:18]
协议一共包含v轮。在每一轮当中会处理g中的一个变量。第1轮：
如果证明者是诚实的，应当成立H=g1(0)+g1(1)。验证者验证，若通过则选择随机数r1发送给证明者。注意到，根据协议的假设，证明者可以完成上述验证。我们用degi(p)来表示多元多项式p当中，第i个变量的次数。g1(X1)的次数为deg1(g)，所以我们知道g1可以用deg1(g)+1个域元素表出。第j(j>1)轮：
美联储埃文斯：预计今年美国GDP增长0.5%:9月9日消息，美联储埃文斯表示，美国就业市场比较紧张，通胀高企。目前的首要任务就是让通胀回到2%。预计今年美国GDP增长0.5%左右。美联储正在迅速提高利率。经验表明，打击通胀代价高昂，但一开始放任通胀飙升的代价更高。美国经济将会挺过今年，实现经济正增长，失业率很可能会上升。[2022/9/9 13:17:59]
如果证明者是诚实的，应当成立gj-1(rj-1)=gj(0)+gj(1)。验证者验证，若通过则选择随机数rj发送给证明者。第v轮：
Move to Earn应用STEPN过去24小时新铸造鞋子14159双:金色财经消息，据Dune链上数据显示，MovetoEarn应用STEPN过去24小时新铸造鞋子14159双，过去7日新铸造鞋子72708双；过去7日活跃用户131620。
此前消息，STEPN宣布推出限时铸造激励活动。活动期间，用户鞋子铸造将仅需花费GMT。[2022/5/5 2:52:10]
图2:TheFoaksSum-checkprotocolCompleteness:若证明者拥有有效的Witness，则验证者会以不低于的概率接受证明；Soundness：若证明者没有有效的Witness，则验证者会以低于negl的概率拒绝证明Succinctness:Proof的Size必须远小于Witness的Size；Zero-knowledge：验证者无法通过证明的交互过程获取任何关于witness的信息#其中negl为任意可忽略的函数4.协议复杂度
通过第3部分的论证，我们可以看到，协议一共由v轮组成，每一轮当中证明者需要给验证者发送一个degi(g)次的多项式，也就是deg1(g)+1个域元素，所以总体的通信复杂度是O(i=1vdegi(g))。关于计算复杂度方面，在每一轮验证都通过的情况下，证明者最多需要进行2v次对g取值的运算；验证者做的运算是对每一轮的gj进行取值以及在最后一轮对g取值。下表具体展示了复杂度的结果，其中T代表访问一次预言也就是对g进行一次求值所需要的开销。
图3:Sum-check协议的复杂度Sum-checkProtocol的应用
在许多的零知识证明算法当中，sum-checkprotocol都在发挥着重要的作用。许多问题的证明，都依赖于将原始的问题转化为sum-check的形式，再完成后续的步骤。例如，可以利用sum-checkprotocol来计算一个无向图中的三角形数量。首先，我们使用邻接矩阵A表示无向图G，设E为其边集合，则Ai,j=1(i,j)E，也就是说若点i,j之间存在一条边则Ai,j=1否则为0。对于点i,j,k，三点构成三角形的条件是Ai,j=1,Ai,k=1,Aj,k=1。接下来记矩阵A为一映射表，表示的映射为f:{0,1}logn{0,1}logn{0,1}，其中logn为i，j的二进制长度。所以对于点i,j,k，三点构成三角形的条件进一步可以表示为f(i,j)f(i,k)f(j,k)=1。
此外，在许多证明系统当中，都采用了sum-checkprotocol作为底层逻辑进行构造。下图展示了根据在sum-check基础上进行不同改造得到的不同证明系统。
图4:Sum-checkprotocol在四类证明系统当中的应用
图5:Sum-checkprotocol在简洁证明方面的具体应用结语
本文梳理了sum-check协议的具体流程，以及讨论了协议的复杂度，同时展示了其在许多证明系统当中的应用。在web3领域不断拓展的当下，密码学作为区块链技术的底层构件，其作用显得越来越重要。随着zkrollup、隐私保护等等依赖零知识证明的应用和项目逐渐诞生，sum-check协议，作为诸多证明系统的重要组件，也正在被学界和产业界同时给予越来越多的关注。参考文献
CarstenLund,LanceFortnow,HowardKarloff,andNoamNisan.Algebraicmethodsforinteractiveproofsystems.J.ACM,39:859–868,October1992.https://people.cs.georgetown.edu/jthaler/sumcheck.pdfhttps://zkproof.org/2020/03/16/sum-checkprotocol/https://eprint.iacr.org/2021/333.pdf介绍sum-check的中文博客https://blog.csdn.net/mutourend/article/details/111610754
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