前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：
用于rangeproof；用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。Rangeproof
1.预备知识
aL：表示向量{a1、a2……an}
2n：表示向量{20、21…2n-1}
<a、b>:表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……anbn}，结果是一个向量
比特币全网未确认交易数量为6095笔:金色财经报道，据BTC.com数据显示，目前比特币全网未确认交易数量为6095笔，全网算力为349.78 EH/s，24小时交易速率为3.59交易/s，目前全网难度为47.89 T，预测下次难度上调1.13%至48, 43 T，距离调整还剩4天17小时。[2023/4/16 14:05:55]
2.证明
Alice想要证明?v??=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=?grhv?^v??}
public-xwitness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n?>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
疑似Bitkeep黑客地址目前超过400万枚稳定币和2930枚BNB:12月26日消息，Bitrace根据部分BitKeep被盗用户的反馈，找到疑似未知攻击者的某个资金囤积地0x36225a2721DCb124F3E185d3c177049813b279ba。
该地址目前持有超过4,087,532.26枚BSC-USD、0.5368枚Binance-Peg Dai Token、2930.14枚BNB，目前仍有资金持续进入。[2022/12/26 22:08:21]
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)、(4)确保了aL?元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
Parallel Crosschain功能上线，支持一键转移DOT/KSM资产:据官方消息，Parallel Crosschain功能上线，用户可以一键转移DOT/KSM资产。据悉，波卡XCM跨链于今年5月份上线，之后Parallel和生态内多个平行链开通HRMP跨链通道，并在DApp中开发专用于用户跨链转移DOT、KSM资产的产品Cross Chain。转入Parallel的DOT、KSM 资产支持在Crowdloan、Money Market、Liquide Staking、AMM、DAOFi产品中使用。Parallel还将发布Parallel Wallet，可用于跨链管理资产。[2022/9/5 13:09:59]
3.2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp?中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n?。
币安将于22:00开通LUNA/BUSD、UST/BUSD交易对:5月13日消息，币安发布公告称，经沟通，Terra项目方已停止持续新增LUNA代币，Terra区块链已恢复区块生产。因此，币安将于2022年05月13日22:00（北京时间）开通LUNA/BUSD、UST/BUSD交易对，及LUNA、UST充值提现业务。[2022/5/14 3:15:09]
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
验证者随机选取一个数y发送给证明者证明者要证明：
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了aL?元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
验证者随机选取一个数z发送给证明者证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积。
4.三个点积优化成1个点积
=>令
L=aL?-z*1n
R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n
δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>
5.验证：
证明者把L/R/V发送给验证者；验证者事先算好δ验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n?>=v算出v验证者根据L、R、v、δ验证等式<L,R>=z2?*v+δ因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.一个零知识证明协议
由于L、R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子sL、sR来隐藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：
此时，定义公式(12)
可以看出系数t0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0?=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
需要校验：
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0?+t1x+t2x2
需要校验：
=>?当且仅当t和τx?welle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**个元素给验证者，总共2n+3个Zp元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))。
附录
Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
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